Blackhole calculator

Hawking Radiation Calculator

Les trous noirs ont été ainsi nommés car ils ont initialement été pensés comme des objets célèstes ne dégageant aucun rayonnement, mais, Stephen Hawking a réussi à nous démontrer que cela n’est pas le cas. Les trous noirs émettent des rayonnements avec une intensité inversement proportionnelle au carré de leur masse. Comme la plupart des trous noirs sont selon les théories générés à partir d’étoiles s’étant effondrées sur elles-mêmes en créant ainsi des trous noirs très massifs, ils dégagent très peu de rayonnement. Cependant, un trou plus petit (de l’ordre de quelques milliards de tonnes) rayonnerait beaucoup plus, ce qui en ferait d’ailleurs une excellente source d’énergie pour une civilisation avancée !

La série de champs de saisie ci-dessous calcule différentes caractéristiques utiles d’un trou noir ainsi que ses différentes émissions. La masse initiale est fixée à un milliard de tonnes métriques, la masse d’un « neuble » standard industriel de The Collapsium. Chaque valeur saisie entraîne une recalculation instantanée des autres éléments. Les menus déroulants vous permettent de sélectionner les unités de mesure à utiliser pour leur champ correspondant.

 

QuantitéValeurUnitésExpression
Masse [ M ]
Rayon [ R = M * 2G/c^2 ]
Aire (surface) [ A = M^2 * 16 pi G^2/c^4 ]
Gravité de surface [ kappa = 1/M * c^4 / 4G ]
Forces de marée [ dkappa_R = 1/M^2 * c^6 / 4G^2 ]
Entropie(dimensionless)[ S = M^2 * 4 pi G / hbar c ln 10 ]
Température [ T = 1/M * hbar c^3/8k pi G ]
Luminosité [ L = 1/M^2 * hbar c^6/15360 pi G^2 ]
Durée de vie [ t = M^3 * 5120 pi G^2/hbar c^4 ]

 

Développements

Le rayon d’un trou noir de Schwarzschild de masse M est :

[ R = 2G/c^2 * M ]

Selon la théorie de [Hawking, 1974], la température thermodynamique d’un tel trou noir est :

[ T = kappa/2pi = hbar c^3/8k pi G * 1/M ]

avec des crochets délimitant les constantes de multiplication. Ensuite, sa surface est obtenue par le biais de :

[ A = 4 pi R^2 = 16 pi G^2/c^4 * M^2 ]

La luminosité du rayonnement Hawking est ainsi donnée par :

[ L = A sigma T^4 = hbar c^6/15360 pi G^2 * 1/M^2 ]

Situé à une distance « r » d’un trou de masse M, le flux de rayonnement incident est donc :

[ Phi = L/4 pi r^2 = hbar c^2/61440 pi^2 G^2 * 1/M^2 r^2 ]

La quantité de rayonnement effective interceptée par un objet dépend nécessairement de sa zone exposée.

L’expression de L permet de calculer la durée de vie d’un trou noir de masse initiale M0, en supposant aucune augmentation de sa masse par aspiration de matière.
La luminosité représente la production d’énergie, ainsi:

[ -dE/dt = hbar c^6/15360 pi G^2 * 1/M^2 ]

Et puisque dE = dM c:

[ -dM/dt = hbar c^4/15360 pi G^2 * 1/M^2 ]

En séparant les variables et en intégrant on obtient :

[ t = 5120 pi G^2/hbar c^4 * M^3 ]

Calcul des différentes constantes :

[ t = (M / M_sol)^3 * 2.099 * 10^67 yr ]

Avec [ M_sol ] représentant une masse solaire, soit 2 × 1030 kg.

Il est évident que pour un trou noir de masse solaire, la durée de vie est essentiellement infinie. En réalité, si un trou noir est assez massif (tel que T <2.726 Kelvin, ou M> 0,75% de la masse de la Terre) il croitrait légèrement en se nourrissant du rayonnement de fond cosmique. C’est uniquement lorsque l’univers se refroidirait à une température inférieure à la température Hawking du trou noir que celui-ci commencerait à se rétrécir.

 

 Source : xaonon