Pendant 64 ans, depuis 1955, un problème mathématique — relativement simple d’apparence — a retenu l’attention des mathématiciens : comment le nombre 33 peut-il être obtenu en additionnant trois nombres élevés au cube ? Un mathématicien britannique a récemment enfin résolu cette énigme à l’aide d’un algorithme informatique.
Bien que cela puisse sembler simple à première vue, cette question fait partie d’une énigme persistante de la théorie des nombres qui remonte au moins à 1955, et a peut-être été évoquée par les penseurs grecs dès le IIIème siècle. L’équation sous-jacente à résoudre ressemble à ceci :
x3 + y3 + z3 = k
Ceci est un exemple d’équation diophantienne, du nom du mathématicien Diophantus d’Alexandrie, qui a proposé une chaîne d’équations similaires avec plusieurs variables inconnues il y a environ 1800 ans.
Si vous voulez jouer en même temps, choisissez n’importe quel nombre entier compris entre 1 et l’infini — c’est votre valeur k. Maintenant, le défi consiste à trouver les valeurs pour x, y et z qui, lorsqu’elles sont cubées et sommées, sont égales à k. Les nombres mystères peuvent être positifs ou négatifs, et aussi grands ou petits que vous le souhaitez.
Par exemple, si vous avez choisi le nombre 8 comme valeur k, une solution à l’équation est la suivante : 23 + 13 + (-1)3 = 8.
Les mathématiciens ont essayé de trouver autant de valeurs valides que possible pour k depuis les années 1950, et ont découvert que quelques nombres ne fonctionneraient jamais. Tout nombre avec un reste de 4 ou 5 lorsqu’il est divisé par 9, par exemple, ne peut avoir de solution diophantienne. Cela exclut 22 nombres inférieurs à 100. Sur les 78 nombres restants qui devraient trouver des solutions, deux ont bloqué les chercheurs pendant des années : 33 et 42.
Andrew Booker, professeur de mathématiques à l’Université de Bristol, a récemment rayé de la liste l’un de ces nombres. Booker a en effet créé un algorithme informatique pour rechercher des solutions à x3 + y3 + z3 = k, en utilisant des valeurs allant jusqu’à la 1016ème puissance. Booker était à la recherche de nouvelles solutions pour tous les nombres valides inférieurs à 100. Il ne s’attendait pas à trouver la toute première solution pour 33 — mais, quelques semaines plus tard, une réponse était trouvée.
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Cette réponse est : (8’866’128’975’287’528)3 + (–8’778’405’442’862’239)3 + (–2’736’111’468’807’040)3 = 33
Cela ne laisse plus qu’un seul nombre récalcitrant inférieur à 100 : 42. Grâce au travail de Booker, les mathématiciens savent maintenant que la solution doit impliquer des nombres supérieurs à 99 quadrillions. Intensifier les calculs pourrait prendre un certain temps en utilisant la puissance de calcul moderne.
Mais cet état de fait ne devrait pas surprendre les fans de la série de livres de Douglas Adams intitulée « Le Guide du voyageur intergalactique », qui dit que le nombre 42 est en fait la réponse à la question ultime de la vie, de l’univers et de tout le reste. Dans les livres d’Adams, il a fallu 7.5 millions d’années de temps de traitement à un supercalculateur pour trouver cette réponse — avant de se rendre compte que personne ne savait à quelle question elle était censée répondre. Peut-être que Diophantus, lui, le savait depuis le début.