Georg Cantor, mathématicien du 19e siècle, a bouleversé notre compréhension de l’infini en démontrant qu’il existe différents « niveaux » d’infini. Il a prouvé que l’ensemble des nombres réels est plus grand que l’ensemble des nombres naturels, malgré le fait que les deux soient infinis. Cette découverte, bien que contre-intuitive, a ouvert la voie à une exploration plus profonde des concepts d’infini en mathématiques.
L’infini, un concept qui a longtemps été considéré comme insondable et mystérieux, a été exploré et défini de manière surprenante par les mathématiciens. L’idée que l’infini pourrait avoir différentes tailles ou « cardinalités » a été introduite par le mathématicien allemand Georg Cantor au 19e siècle, bouleversant les notions traditionnelles de l’infini.
Cantor a commencé par examiner les ensembles infinis de nombres, tels que l’ensemble des nombres naturels (ℕ) et l’ensemble des nombres pairs. Pour rappel, les nombres naturels sont les nombres entiers positifs que nous utilisons couramment pour compter. Ils commencent à 1 et vont jusqu’à l’infini. Cantor a découvert que ces ensembles peuvent être mis en correspondance un à un, ce qui signifie qu’ils ont la même taille ou cardinalité, qu’il a appelée ℵ0 (aleph zéro), notre infini familier.
L’infini des nombres rationnels
Cependant, tous les ensembles infinis ont-ils la même taille ? Peuvent-ils tous être mis en correspondance exacte ? Pendant longtemps, nous pensions que tous les ensembles infinis pouvaient être appariés les uns avec les autres — ce qui signifie que chaque ensemble infini avait la même taille selon nos connaissances, ℵ0. Cette idée intuitive a été brisée en 1874 par la découverte de Cantor de plus grands infinis, comme le mentionne un article du Scientific American.
Cantor a introduit l’idée de nombres rationnels, qui sont des nombres qui peuvent être exprimés comme une fraction d’entiers. Il a montré que l’ensemble des nombres rationnels, bien qu’il semble beaucoup plus grand que l’ensemble des nombres naturels, a en fait la même cardinalité, ℵ0. Il a réussi à faire cela en listant les nombres rationnels d’une manière particulière, en les appariant avec les nombres naturels.
L’extension aux nombres réels : ℵ1
Les nombres réels sont tous les nombres qui peuvent être placés sur une ligne numérique. Cela inclut les nombres entiers (comme 1, 2, 3), les nombres rationnels (qui incluent des fractions telles que 1/2, 2/3, 5/4), mais aussi les nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme une fraction, comme π (pi) ou √2 (racine carrée de 2). Ces derniers sont appelés nombres irrationnels.
Cantor a découvert quelque chose d’étonnant à propos de l’ensemble des nombres réels. Même si cet ensemble est infini (il y a une infinité de nombres réels), il a prouvé qu’il est « plus grand » que l’ensemble des nombres naturels, qui est également infini.
Il a fait cela en supposant d’abord qu’il était possible de faire correspondre chaque nombre naturel à un nombre réel (c’est ce qu’on appelle une bijection). Il a ensuite montré qu’il est toujours possible de trouver un nombre réel qui n’est pas sur la liste de correspondance, ce qui contredit l’idée de la correspondance parfaite. Cela signifie qu’il y a plus de nombres réels que de nombres naturels, même si les deux ensembles sont infinis.
Cette découverte a conduit à l’idée que certains infinis sont plus grands que d’autres. Cantor a introduit un nouvel infini, appelé ℵ1, qui est plus grand que ℵ0. Il a ainsi ouvert la voie à l’idée qu’il existe une infinité d’infinis différents, chacun plus grand que le précédent.
Des implications vastes comme l’Univers
L’exploration de l’infini par Cantor a eu des implications profondes pour notre compréhension des mathématiques et même de l’Univers. En effet, ce sont surtout les mathématiques qui nous aident à comprendre des concepts tels que l’espace infini ou l’éternité. Les implications des travaux de Cantor nous permettent également de traiter des problèmes mathématiques complexes qui impliquent l’infini, comme certains problèmes en théorie des nombres ou en analyse mathématique.
Bien que l’infini ne soit pas un lieu, une destination ou un point final, les mathématiques nous permettent d’explorer l’infini et au-delà. L’infini est donc un concept qui a été défini et redéfini à travers l’histoire des mathématiques. De l’époque de Cantor à nos jours, les mathématiciens continuent d’explorer les mystères de l’infini, nous permettant de mieux comprendre le monde dans lequel nous vivons. L’infini n’est pas seulement un concept abstrait, mais un outil essentiel pour comprendre la réalité de notre univers.